Question

已知函数y=log_a（x+3）-1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A．若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，当有最小值时，椭圆的离心率为    ．

Answer

由题意可得定点A（-2，-1），2m+n=1，把要求的式子化为4++，利用基本不等式求得取得最小值时相应的m，n的值，最后代入椭圆方程即可求得其离心率．
【解析】
∵x=-2时，y=log21-1=-1，
∴函数y=log2（x+3）-1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点（-2，-1）即A（-2，-1），
∵点A在直线mx+ny+1=0上，
∴-2m-n+1=0，即2m+n=1，
∵mn＞0，
∴m＞0，n＞0，+=+=2+++2≥4+2•=8，
当且仅当m=，n=时取等号．
∴椭圆即
离心率为：=
故答案为：．