Question

某篮球职业联赛的总决赛在甲队与乙队间角逐，采用五局三胜制，即若一队先胜三场，则此队获胜，比赛结束，因两队实力相当，每场比赛获胜的可能性相等，据以往资料统计，第一场比赛组织者可获门票收入30万元，以后每场比赛门票收入都比上一场增加10万元，
问：（1）组织者在此次总决赛中获得门票收入不少于180万元的概率是多少？
（2）用ξ表示组织者在此次总决赛中的门票收入，求ξ的数学期望？

Answer

（1）由题意知每场比赛的门票收入构成等差数列{an}，根据所给的条件写出数列的和，使得数列的和大于或等于180，解出n的值，分类讨论，得到组织者在此次总决赛中获得门票收入不少于180万元的概率．
（2）由题意知ξ表示组织者在此次总决赛中的门票收入，可能取值是120、180、250，当取值是120时，表示比赛要打三场，采用五局三胜制，即若一队先胜三场，根据实际意义得到结果．
【解析】
（1）由题意知每场比赛的门票收入构成等差数列{an}，
其中a1=30，d=10，
∴Sn=5n2+25n
令Sn≥180，即5n2+25n≥180，
解得n≥4或n≤-9（舍）
∴n=4或5
若n=4，则需打四场比赛，某队必须第四场胜，且前三场中胜两场，
若n=5，则需打五场比赛，某队必须第五场胜，且前四场中胜两场，
∴P=2+2=
即组织者在此次总决赛中获得门票收入不少于180万元的概率是．
（2）由题意知ξ表示组织者在此次总决赛中的门票收入，可能取值是120、180、250，
P（ξ=120）=，
P（ξ=180）=，
P（ξ=250）=，，
∴Eξ=120×+180×+250×=191.25