Question

已知长方形ABCD，AB=6，BC=7/4．以AB的中点0为原点建立如图所示的平面直角坐标系x0y
（1）求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆C的标准方程；
（2）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，=λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

Answer

（1）由椭圆的定义可得2c=AB可求c，在长方形ABCD，由AB=6，BC=可得AC，根据椭圆的定义可得，2a=CA+CB可求a，进而可求b及椭圆的方程
（2）设M（x，y），其中x∈[-4，4]．由已知=λ，及点P在椭圆C上可得（（16λ2-9）x2+16λ2y2=112，x∈[-4，4]，根据方程的特点，故讨论二次项系数16λ2-9=0，16λ2-9＞0，16λ2-9＜0三种情况讨论，从而可得方程代表的曲线类型
【解析】
（1）由椭圆的定义可得2c=AB=6，c=3
在长方形ABCD，由AB=6，BC=可得AC=，
∴2a=CA+CB=8，a=4∴b2=a2-c2=7
椭圆的方程为…（5分）
（2）设M（x，y），其中x∈[-4，4]．由已知=λ，及点P在椭圆C上可得
．整理得（（16λ2-9）x2+16λ2y2=112，x∈[-4，4]…（8分）
（i）时．化简得9y2=112
所以点M的轨迹方程为，轨迹是两条平行于x轴的线段．
（ii）时，方程变形为，其中x∈[-4，4]
当时，点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足-4≤x≤4的部分．
当时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足-4≤x≤4的部分；
当λ≥1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆…（13分）