Question

已知数列{a_n}的前n项和，且a_n是b_n与1的等差中项．
（1）求数列{a_n}和数列{b_n}的通项公式；
（2）令，求数列{C_n}的前n项和T_n；
（3）若（k∈N^*），是否存在n∈N^*，使得f（n+13）=2f（n），并说明理由．

Answer

（1）由，，求得an=n-1，再由2an=bn+1，能够得到{bn}的通项公式．
（2）由，知，由错位相减法能求出．
（3）当n为奇数时f（n）=an=（n-1）f（n+13）=2n+23；当n为偶数时f（n）=bn=（2n-3）f（n+13）=n+12．由此能够导出满足条件的n存在且等于6．
【解析】
（1）由，由
求得an=n-1
又∵2an=bn+1
∴bn=2n-3
（2）
∴
两式相减得：
∴
∴
（3）当n为奇数时：f（n）=an=n-1f（n+13）=2n+23
∴2n+23=2n-2⇒n∈ϕ
当n为偶数时f（n）=bn=2n-3f（n+13）=n+12由题
∴2•（2n-3）=n+12⇒n=6为偶数
∴满足条件的n存在且等于6．