Question

已知函数f（x）满足2axf（x）=2f（x）-1，f（1）=1，设无穷数列{a_n}满足a_n+1=f（a_n）．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）若a₁=3，从第几项起，数列{a_n}中的项满足a_n＜a_n+1；
（3）若1+＜a₁＜（m为常数且m∈N，m≠1），求最小自然数N，使得当n≥N时，总有0＜a_n＜1成立．

Answer

（1）由函数f（x）满足2axf（x）=2f（x）-1，f（1）=1，我们不得得到参数a的值，进而得到函数的表达式；
（2）要判断从第几项起，数列{an}中的项满足an＜an+1我们关键是构造an+1-an的表达式，结合其它已知条件解对应的不等组，即可求解．
（3）总有0＜an＜1成立，则数列的每一项，均符合要求，包括首项在内，由1+＜a1＜，结合数学归纳法，即可求出满足条件的自然数N．
【解析】
（1）令x=1得2a=1，∴a=．
∴f（x）=．
（2）若a1=3，由a2==-1，a3==，a4==，
假设当n≥3时，0＜an＜1，则0＜an+1=＜=1⇒2-an＞0．
从而an+1-an=-an=＞0⇒an+1＞an．
从第2项起，数列{an}满足an＜an+1．
（3）当1+＜a1＜时，a2=，得＜a2＜．
同理，＜a3＜．
假设＜an-1＜．
由an=与归纳假设知＜an＜对n∈N*都成立．
当n=m时，＜am，即am＞2．
∴am+1=＜0．
0＜am+2=＜＜1．
由（2）证明知若0＜an＜1，则0＜an+1=＜=1．
∴N=m+2，使得n≥N时总有0＜an＜1成立．