Question

如果由数列{a_n}生成的数列{b_n}满足对任意的n∈N^*均有b_n+1＜b_n，其中b_n=a_n+1-a_n，则称数列{a_n}为“Z数列”．
（Ⅰ）在数列{a_n}中，已知a_n=-n²，试判断数列{a_n}是否为“Z数列”；
（Ⅱ）若数列{a_n}是“Z数列”，a₁=0，b_n=-n，求a_n；
（Ⅲ）若数列{a_n}是“Z数列”，设s，t，m∈N^*，且s＜t，求证：a_t+m-a_s+m＜a_t-a_s．

Answer

（Ⅰ）由题设条件知bn=an+1-an=-（n+1）2+n2=-2n-1，n∈N*，由此可得bn+1-bn=-2（n+1）-1+2n+1=-2，所以bn+1＜bn，数列{an}是“Z数列”．
（Ⅱ）由题意知an-an-1=bn-1=-（n-1），由此可知（n≥2）．
Ⅲ）由as+m-as=（as+m-as+m-1）++（as+1-as）=bs+m-1++bs，at+m-at=（at+m-at+m-1）++（at+1-at）=bt+m-1++bt，
知bs+m-1＞bt+m-1，bs+m-2＞bt+m-2，，bs＞bt，所以at+m-at＜as+m-as，即at+m-as+m＜at-as．
【解析】
（Ⅰ）因为an=-n2，
所以bn=an+1-an=-（n+1）2+n2=-2n-1，n∈N*，（2分）
所以bn+1-bn=-2（n+1）-1+2n+1=-2，
所以bn+1＜bn，数列{an}是“Z数列”．（4分）
（Ⅱ）因为bn=-n，
所以a2-a1=b1=-1，a3-a2=b2=-2，an-an-1=bn-1=-（n-1），
所以（n≥2），（6分）
所以（n≥2），
又a1=0，所以（n∈N*）．（8分）
（Ⅲ）因为as+m-as=（as+m-as+m-1）++（as+1-as）=bs+m-1++bs，at+m-at=（at+m-at+m-1）++（at+1-at）=bt+m-1++bt，
（10分）
又s，t，m∈N*，且s＜t，所以s+i＜t+i，bs+i＞bt+i，n∈N*，
所以bs+m-1＞bt+m-1，bs+m-2＞bt+m-2，，bs＞bt，（12分）
所以at+m-at＜as+m-as，即at+m-as+m＜at-as．（14分）