Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，每个侧面均是边长为2的正方形，D为底边AB的中点，E为侧棱CC₁的中点，AB₁与A₁B的交点为O．
（Ⅰ）求证：CD∥平面A₁EB；
（Ⅱ）求点A到平面A₁EB的距离．

Answer

对于（Ⅰ），要证明CD∥平面A1EB，只需证明CD与平面A1EB内的一条直线平行，根据本题条件，
设AB1和A1B的交点为O，连接EO，连接OD，则容易证明ECOD为平行四边形，从而EO∥CD，根据线面
平行的判定证明即可；
对于（Ⅱ），求点到平面的距离，应该是点A到平面A1EB的垂线段的长度，而由本题条件，考虑证明
AO与平面A1EB垂直，则距离就是AO的长度，由第一问可得：AO⊥OE，又侧面是正方形，容易得到
AO⊥A1B，从而AO与平面A1EB垂直，距离就是AO的长度．
证明：（Ⅰ）设AB1和A1B的交点为O，连接EO，连接OD．
因为O为AB1的中点，D为AB的中点，所以OD∥BB1且．
又E是CC1中点，
则EC∥BB1且，即EC∥OD且EC=OD，
则四边形ECOD为平行四边形．所以EO∥CD．
又CD⊄平面A1BE，EO⊂平面A1BE，则CD∥平面A1BE．（7分）

（Ⅱ）因为三棱柱各侧面都是正方形，所以BB1⊥AB，BB1⊥BC，
所以BB1⊥平面ABC．
因为CD⊂平面ABC，所以BB1⊥CD．
由已知得AB=BC=AC，所以CD⊥AB．
所以CD⊥平面A1ABB1．
由（Ⅰ）可知EO∥CD，所以EO⊥平面A1ABB1．
所以EO⊥AB1．
因为侧面是正方形，所以AB1⊥A1B．
又EO∩A1B=O，EO⊂平面A1EB，A1B⊂平面A1EB，
所以AB1⊥平面A1BE．
点A到到平面A1EB的垂线段为AO，故距离等于（14分）