Question

已知分别以d₁和d₂为公差的等差数列和满足a₁=18，b₁₄=36．
（1）若d₁=18，且存在正整数m，使得a_m²=b_m+14-45，求证：d₂＞108；
（2）若a_k=b_k=0，且数列a₁，a₂，…，a_k，b_k+1，b_k+2，…，b₁₄的前n项和S_n满足S₁₄=2S_k，求数列{a_n}和{b_n}的通项公式．

Answer

（1）根据等差数列的通项公式分别表示出am和bm+14，代入am2=bm+14-45，求得，根据均值不等式求得d2的范围，原式得证．
（2）根据S14=2Sk得：Sk=S14-Sk，再根据等差数列的求和公式，进而求得d1和d2，根据等差数列的通项公式进而求得an和bn的通项公式．
【解析】
（1）依题意，[18+（m-1）×18]2=36+（m+14-14）d2-45，
即（18m）2=md2-9，即；
等号成立的条件为，即，∵m∈N*，
∴等号不成立，∴原命题成立．
（2）由S14=2Sk得：Sk=S14-Sk，
即：，
则9k=18×（15-k），得k=10
，，
则an=-2n+20，bn=9n-90．