Question

设函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），曲线y=f（x）通过点（0，2a+3），且在点（-1，f（-1））
处的切线垂直于y轴．
（Ⅰ）用a分别表示b和c；
（Ⅱ）当bc取得最小值时，求函数g（x）=-f（x）e^-x的单调区间．

Answer

（Ⅰ）把（0，2a+3）代入到f（x）的解析式中得到c与a的解析式，解出c；求出f'（x），因为在点（-1，f（-1））处的切线垂直于y轴，得到切线的斜率为0，即f′（-1）=0，代入导函数得到b与a的关系式，解出b即可．
（Ⅱ）把第一问中的b与c代入bc中化简可得bc是关于a的二次函数，根据二次函数求最值的方法求出bc的最小值并求出此时的a、b和c的值，代入f（x）中得到函数的解析式，根据求导法则求出g（x）的导函数，将f′（x）和f（x）代入即可得到g′（x），然后令g′（x）=0求出x的值，利用x的值分区间讨论g′（x）的正负即可得到g（x）的增减区间．
【解析】
（Ⅰ）由f（x）=ax2+bx+c得到f'（x）=2ax+b．
因为曲线y=f（x）通过点（0，2a+3），故f（0）=c=2a+3，
又曲线y=f（x）在（-1，f（-1））处的切线垂直于y轴，故f'（-1）=0，
即-2a+b=0，因此b=2a．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
故当时，bc取得最小值-．
此时有．
从而，g（x）=-f（x）e-x=（x2+x-）e-x，
所以
令g'（x）=0，解得x1=-2，x2=2．
当x∈（-∞，-2）时，g'（x）＜0，故g（x）在x∈（-∞，-2）上为减函数；
当x∈（-2，2）时，g'（x）＞0，故g（x）在x∈（2，+∞）上为减函数．
当x∈（2，+∞）时，g'（x）＜0，故g（x）在x∈（2，+∞）上为减函数．
由此可见，函数g（x）的单调递减区间为（-∞，-2）和（2，+∞）；单调递增区间为（-2，2）．