Question

已知函数y=f（x）是定义在区间上的偶函数，且时，f（x）=-x²-x+5
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）将函数g（x）=-x²-x+5，的图象按向量a=（1，b）（b∈R）平移得到函数h（x）的图象，求函数h（x）的解析式并解不等式h（x）＜0．

Answer

（1）根据偶函数的定义可知先求出函数在区间上的函数解析式，从而求出函数y=f（x）在区间上的解析式；
（2）先根据向量平移求出函数h（x）的解析式，然后讨论b的范围，分别求出不等式h（x）＜0的解集．
解（1）当时，-x∈∴f（-x）=-（-x2）-（-x）+5=-x2+x+5
∵f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x）∴f（x）=-x2+x+5，x∈
∴f（x）=
（2）依题意 ①
将y′=y+b，x′=x+1代入①得 y-b=-（x'-1）2-（x'-1）+52  且
∴h（x）=-x2+x+5+b且
由h（x）＜0      b＜x2-x-5
设y1=by2=x2-x-5   
易知y2在↑，
则当b＜-5时，解集为，当b=-5时，解集{x|1＜
当时，解集为φ；
当-5＜b＜时，由x2-x-5-b=0解的（舍）
解集为＜