Question

已知函数f（t）对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+3xy（x+y+2）+k（x+y）+3，k为常数，且f（1）=1，f（2）=17．
（1）若t为正整数，求f（t）的解析式（已知公式：；
（2）求满足f（t）=t的所有正整数t；
（3）若t为正整数，且t≥4时，f（t）≥mt²+（4m+1）+3m恒成立，求实数m的最大值．

Answer

（1）令x=y=1，求得k=0，由于对于x，y∈R都成立，故令x=t（t∈N*），y=1，可得f（t+1）-f（t）=3t2+9t+4，从而利用叠加法，可求f（t）的解析式；（2）对t进行分类讨论：若t∈N*，则t3+3t2-3=t⇒t3-t+3（t2+1）=0；若t为负整数，则f（t）=6t2-6-f（-t）=6t2-6+t3-3t2+3=t3+3t2-3；若t=0，则f（t）═t无解；（3）要使不等式恒成立，则只需对t≥4，且t∈N*恒成立．
【解析】
（1）令x=y=1，f（2）=f（1）+f（1）+12+2k+3⇒k=0，则f（x+y）=f（x）+f（y）+3xy（x+y+2）+3
对于x，y∈R都成立
令x=t（t∈N*），y=1f（t+1）=f（t）+f（1）+3t（t+3）+3⇒f（t+1）-f（t）=3t2+9t+4⇒f（2）-f（1）=3×12+9×1+4f（3）-f（2）=3×22+9×2+4
…f（t）=f（t-1）=3（t-1）2+9×（t-1）+4
用叠加法 f（t）-f（1）=3[12+22+…+（t-1）2]+9[1+2+…+（t-1）]+4+4•k…+4==t3+3t2-4
∴f（t）=t3+3t2-3（t≥2）又t=1适合上式f（t）=t3+3t2-3（t≥2）（t∈N*）
（2）若t∈N*，则t3+3t2-3=t⇒t3-t+3（t2+1）=0⇒（t-1）（t+1）（t+3）=0⇒t1=1，t2=-1，t3=-3（舍）
又令x=y=0f（0）=-3
令y=-x-3=f（x）+f（-x）+（-6x2）+3⇒f（x）+f（-x）=6x2-6对x∈R都成立
若t为负整数，则f（t）=6t2-6-f（-t）=6t2-6+t3-3t2+3=t3+3t2-3
由t3+3t2-3=t（t+3）（t+1）（t-1）⇒t1=-3，t2=-1，t3=1（舍）
若t=0，则f（t）═t无解   综上，满足f（t）=t，所有整数t为1，-1，-3；
（3）要使不等式恒成立，则只需对t≥4，且t∈N*恒成立
即对t≥4，且t∈N*恒成立
即且m≤（t-1）min=3
实数m最大值为3