Question

已知数列{a_n}满足3a_n+1+a_n=4（n∈N^*）且a₁=9，其前n项和为S_n，则满足不等式|S_n-n-6|＜的最小正整数n是    ．

Answer

首先根据题意，将3an+1+an=4变形为3（an+1-1）=-（an-1），可得{an-1}是等比数列，结合题意，可得其前n项和公式，进而可得|Sn-n-6|=（）n；依题意，有|Sn-n-6|＜，解可得n＞7；进而可得答案．
【解析】
根据题意，3an+1+an=4，化简可得3（an+1-1）=-（an-1）；
则{an-1}是首项为an-1=8，公比为-的等比数列，
进而可得sn-n==6[1-（-）n]，即|Sn-n-6|=6×（-）n；
依题意，|Sn-n-6|＜6×即（-）n＜，且n∈N*，
分析可得n＞7；即满足不等式|Sn-n-6|＜的最小正整数n是7；
故答案为7．