Question

已知数列{a_n}满足：a₁=2，a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹（n∈N^*）
（1）记，证明：数列{b_n}为等差数列．
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n及前n项和为S_n．

Answer

（1）根据等差数列的定义bn+1-bn=常数得bn+1-bn=1所以数列{bn}为等差数列，其首项为1，公差为1．
（2）由（1）得bn=1+（n-1）×1=n代入得an=n2n再利用错位相减法求数列an=n2n前n项和可得Sn=（n-1）2n+1+2．
【解析】
（1）由已知有：，
即：bn+1-bn=1（n∈N*）
∴数列{bn}为等差数列，其首项为1，公差为1       
（2）由（1）知：bn=1+（n-1）×1=n（n∈N*）
即：∴an=n2n（n∈N*）
∴Sn=1×21+2×22+3×23+…+n2n
2Sn=1×22+2×23+…+（n-1）×2n+n2n+1
两式相减，得：

∴an=n2nSn=（n-1）2n+1+2