Question

已知a＞0，设命题p：函数y=a^x在R上单调递减，q：设函数对任意的x，恒有y＞1．若p∧q为假，p∨q为真，求a的取值范围．

Answer

若命题p：“函数y=ax在R上单调递减”为真命题，根据指数函数的单调性与底数的关系，易确定满足条件的a的取值范围，若命题q：“设函数对任意的x，恒有y＞1”，易求了满足条件的a的取值范围，又由p∧q为假，p∨q为真，可以判断出命题p与命题q中一个为真一个为假，分类讨论求出对应的a的取值范围，综合讨论结果，即可得到a的取值范围．
【解析】
若p是真命题，则0＜a＜1…（2分）
若q是真命题，则函数y＞1恒成立，即函数y的最小值大于1，而函数y的最小值为2a，
只需2a＞1∴∴q为真命题时，…（6分）
又∵p∧q为假，p∨q为真∴p与q一真一假       …（8分）
若p真q假，则；若p假q真，则a≥1…（10分）
故a的取值范围为或a≥1…（12分）