Question

A、B是抛物线C：y²=2px（p＞0）上的两个动点，F是焦点，直线AB不垂直于x轴且交x轴于点D．
（1）若D与F重合，且直线AB的倾斜角为，求证：是常数（O是坐标原点）；
（2）若|AF|+|BF|=8，线段AB的垂直平分线恒过定点Q（6，0），求抛物线C的方程．

Answer

（1）由题知：，直线AB的斜率为1，直线AB的方程为，联立，得：y2-2py-p2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理能够求出是常数．
（2）由抛物线的定义，知：，所以x1+x2=8-p．由点Q（6，0）在线段AB的垂直平分线上，知|QA|=|QB|，由此能求出抛物线的方程．
【解析】
（1）由题知：，直线AB的斜率为1
故直线AB的方程为…（1分）
联立，得：y2-2py-p2=0…（2分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），则
∴…（4分）
∴故：是常数        …（6分）
（2）由抛物线的定义，易知：
∴x1+x2=8-p…（7分）
∵点Q（6，0）在线段AB的垂直平分线上∴|QA|=|QB|
即：（x1-6）2+y12=（x2-6）2+y22…（8分）
又y12=2px1，y22=2px2∴（x1-6）2+2px1=（x2-6）2+2px2
整理得：（x1-x2）（x1+x2-12+2p）=0…（10分）
∵x1≠x2∴x1+x2-12+2p=0即：x1+x2=12-2p=8-p
解得：p=4∴抛物线的方程为y2=8x…（12分）