Question

已知f（x）=ln（x+1）-ax．（a∈R）
（1）求y=f（x）的单调区间；
（2）当a=1时，求f（x）在定义域上的最大值；
（3）求证：．

Answer

【解析】
（1）先确定定义域，再用导数法求单调区间；要注意a的讨论，
（2）当a=1时，f（x）=ln（x+1）-x，由（1）可知f（x）在（-1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，从而求得其最大值．
（3）对两边取对数，将问题转化为证明，由（x）=ln（x+1）-x≤0得证．
【解析】
（Ⅰ）定义域为{x|x＞-1}，（1分）
①当a=0时，∵，
∴f（x）的单调递增区间为（-1，+∞）（2分）
②当a＜0时，
∵
∴f（x）的单调递增区间为（-1，+∞）（3分）
③当a＞0时，由f′（x）＞0，则，
所以f（x）的单调递增区间为，
由f′（x）＜0，则，
所以f（x）的单调递减区间为（4分）
（Ⅱ）当a=1时，f（x）=ln（x+1）-x，
由（Ⅰ）可知f（x）在（-1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，
所以（5分）
由表可知f（x）的最大值为f（0）=0（6分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知f（x）=ln（x+1）-x≤0（*）
两边取对数可知
即证
又由（*）式可知当x≠0时，ln（1+x）＜x（9分）
∴
∴
=（12分）
∴原不等式得证