Question

已知函数，其中实数a≠1．
（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）若f（x）在x=1处取得极值，试讨论f（x）的单调性．

Answer

首先求出函数的导数及在点f（0）处的值，然后求出在该点的切线方程，第二问根据函数的导数与极值的关系求出a的值，然后根据函数的导数与单调性的关系讨论函数的单调性．
【解析】
（1）=，
当a=2时，f′（0）=，而f（0）=-，
所以曲线在点（0，f（0））处的切线方程为：y-（-）=（x-0），即7x-4y-2=0．
（2）因为a≠1，由（1）可知=；
又因为f（x）在x=1处取得极值，
所以，解得a=-3；
此时，定义域（-1，3）∪（3，+∞）；
=，
由f′（x）=0得x1=1，x2=7，当-1＜x＜1或x＞7时f′（x）＞0；
当1＜x＜7且x≠3时f′（x）＜0；
由上讨论可知f（x）在（-1，1]，[7，+∞）时是增函数，在[1，3），（3，7]上是减函数．