Question

已知函数f（x）=e^x-x²+ax-1．
（1）过原点的直线与曲线y=f（x）相切于点M，求切点M的横坐标；
（2）若x≥0时，不等式f（x）≥0恒成立，试确定实数a的取值范围．

Answer

（1）设切点为（x，y），则直线l的斜率为f'（x）=ex-2x+a，从而求得直线l的方程，有条件直线1过原点可求解切点坐标．
（2）由导数的知识得出当x=ln2时，f'（x）=ex-2x+a取得最小值，下面只要ex-2x+a≥2-2ln2+a恒成立即可，等价于ex-2x+a在定义域上的最小值大于2-2ln2+a即可．
【解析】
（1）∵f（x）=ex-x2+ax-1，∴f'（x）=ex-2x+a，
∴，
∴x=1或x=0（4分）
（2）∵f'（x）=ex-2x+a，∴f''（x）=ex-2=0，x=ln2，
可知，当x=ln2时，∵f'（x）=ex-2x+a取得最小值，
即f'（x）=ex-2x+a≥2-2ln2+a，
①当a≥2ln2-2时，f'（x）≥0恒成立，∴f（x）在R上为增函数，
又∵f（0）=e-1=0，∴f（x）≥0恒成立．
2当a＜2ln2-23时，f'（x）=ex-2x+a=04有两不等根x1＜ln2＜x25，
则x∈（x1，x2），f'（x）＜0，x∈（x2，+∞），f'（x）＞0，
当x=x2时f（x）取到极小值，∴，
又，即，∴，
∴，
∵，∴ln2＜x2≤1，∴，
由①②知实数a的取值范围是a≥2-e．（12分）