Question

已知椭圆+=1=1（a＞b＞0），点P为其上一点，F₁、F₂为椭圆的焦点，∠F₁PF₂的外角平分线为l，点F₂关于l的对称点为Q，F₂Q交l于点R．
（1）当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程；
（2）设点R形成的曲线为C，直线l：y=k（x+a）与曲线C相交于A、B两点，当△AOB的面积取得最大值时，求k的值．

Answer

（1）由于∠F1PF2的外角平分线为l，点F2关于l的对称点为Q，F2Q交l于点R．所以|F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a，即点Q的轨迹是圆，从而可求R形成的轨迹方程；
（2）先将△AOB的面积表示为S△AOB=|OA|•|OB|•sinAOB=sinAOB，从而当∠AOB=90°时，S△AOB最大值为a2．  
故可求k的值．
【解析】
（1）∵点F2关于l的对称点为Q，连接PQ，∴∠F2PR=∠QPR，|F2R|=|QR|，|PQ|=|PF2|
又因为l为∠F1PF2外角的平分线，故点F1、P、Q在同一直线上，设存在R（x，y），Q（x1，y1），F1（-c，0），F2（c，0）．
|F1Q|=|F1P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a，则（x1+c）2+y12=（2a）2．
又x1=2x-c，y1=2y．
∴（2x）2+（2y）2=（2a）2，∴x2+y2=a2．
故R的轨迹方程为：x2+y2=a2（y≠0）
（2）∵S△AOB=|OA|•|OB|•sinAOB=sinAOB
当∠AOB=90°时，S△AOB最大值为a2．  
此时弦心距|OC|=．
在Rt△AOC中，∠AOC=45°，，∴