Question

已知f（x）=sin²wx+sin2wx-（x∈R，w＞0），若f（x）的最小正周期为2π．
（1）求f（x）的表达式和f（x）的单调递增区间；
（2）求f（x）在区间[-，]上的最大值和最小值．

Answer

（1）利用二倍角的余弦公式，两角差的正弦，以及三角函数的周期化简f（x）的表达式，根据正弦函数的单调性，求f（x）的单调递增区间；
（2）x∈[-，]，推出x-的范围，求sin（x-）的范围，然后求f（x）在区间[-，]上的最大值和最小值．
【解析】
（1）由已知f（x）=sin2wx+sin2wx-
=（1-cos2wx）+sin2wx-
=sin2wx-cos2wx
=sin（2wx-）．
又由f（x）的周期为2π，则2π=⇒2w=1⇒w=，
⇒f（x）=sin（x-），
2kπ-≤x-≤2kπ+（k∈Z）⇒2kπ-≤x≤2kπ+（k∈Z），
即f（x）的单调递增区间为
[2kπ-，2kπ+]（k∈Z）．
（2）由x∈[-，]⇒-≤x≤
⇒--≤x-≤-⇒-≤x-≤
⇒sin（-）≤sin（x-）≤sin．∴-≤sin（x-）≤1．
故f（x）在区间[-，]的最大值和最小值分别为1和-．