Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx（a，b∈R）．若函数f（x）在x=1处有极值-4．
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）求函数f（x）在[-1，2]上的最大值和最小值．

Answer

（1）首先求出函数的导数，然后令f′（x）=0，解出函数的极值点，最后根据导数判断函数的单调性，从而求解．
（2）由（1）求出函数的单调区间，可以运用导数判断函数的单调性，从而求出函数f（x）在[-1，2]上的最大值和最小值．
（1）f′（x）=3x2+2ax+b，依题意有f′（1）=0，f（1）=-4，
即得．（4分）
所以f′（x）=3x2+4x-7=（3x+7）（x-1），
由f′（x）＜0，得-＜x＜1，
所以函数f（x）的单调递减区间（-，1）．（7分）
（2）由（1）知f（x）=x3+2x2-7x，f′（x）=3x2+4x+7=（3x+7）（x-1），
令f′（x）=0，解得x1=-，x2=1．
f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：

由上表知，函数f（x）在（-1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增．
故可得f（x）min=f（1）=-4，f（x）max=f（-1）=8．（13分）