Question

等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知对任意的n∈N⁺，点（n，S_n），均在函数y=2^x+r（其中r为常数）的图象上．
（1）求r的值；
（11）记b_n=2（log₂a_n+1）（n∈N⁺
证明：对任意的n∈N⁺，不等式•…成立．

Answer

（1）由已知得 Sn=2n+r，利用数列中an与 Sn关系，求{an}的通项公式，再据定义求出r的值；
（2）由（1）知，an=2n-1，所以bn=2（log2an+1）=2（log22n-1+1）=2n，则，所以•…=，再用数学归纳法证明不等式成立．
【解析】
（1）因为对任意的n∈N*，点（n，Sn），均在函数y=2x+r（其中r为常数）的图象上
所以得Sn=2n+r，
当n=1时，a1=S1=2+r，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n+r-（2n-1+r ）=2n-1，
又因为{an}为等比数列，所以公比为2，r=-1，
（2）由（1）知，an=2n-1，
∴bn=2（log2an+1）=2（log22n-1+1）=2n
则，
所以•…=
下面用数学归纳法证明不等式成立．
①当n=1时，左边=，右边=，因为，所以不等式成立．
②假设当n=k时不等式成立，即成立．
则当n=k+1时，左边===
所以当n=k+1时，不等式也成立．
由①、②可得不等式恒成立．
∴不等式•…成立．