Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a-c）cosB=bcosC；
（1）求角B的大小；
（2）设的最大值是5，求k的值．

Answer

（1）先根据正弦定理将边的关系转化为正弦值的关系，再由两角和与差的正弦公式和诱导公式求出cosB的值，最后确定角B的值．
（2）先根据向量数量积的运算表示出，再运用余弦函数的二倍角公式将2A化为A的关系，最后令t=sinA，转化为一个一元二次函数求最值的问题．
【解析】
（I）∵（2a-c）cosB=bcosC，∴（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC
即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）
∵A+B+C=π，∴2sinAcosB=sinA∵0＜A＜π，∴sinA≠0．
∴cosB=∵0＜B＜π，∴B=．
（II）=4ksinA+cos2A=-2sin2A+4ksinA+1，A∈（0，）
设sinA=t，则t∈（0，1]．则=-2t2+4kt+1=-2（t-k）2+1+2k2，t∈（0，1]
∵k＞1，∴t=1时，取最大值．依题意得，-2+4k+1=5，∴k=．