Question

正方形ABCD中，AB=2，E、F分别是边AB及BC的中点，将△AED及△DCF折起（如图），使A、C点重合于A′点．
（Ⅰ）证明A′D⊥EF；
（Ⅱ）求A′D与平面DEF所成角的正切值．

Answer

（I）由正方形的几何牲，我们易得AD⊥AB，DC⊥BC，即折起后A′D⊥A′E，A′D⊥A′F，由线面垂直的判定定理可得，A′D⊥面A′EF，再由线面垂直的性质可得A′D⊥EF；
（Ⅱ）取EF中点G，连接A′G，DG，过A′做DG的垂线，交DG于H．根据等腰三角形三线合一，可得A′G⊥EF，GD⊥EF，则EF⊥面A′GD，进而可得A′H⊥面DEF，由二面角的平面角的定义，可得∠A′DG即所求的A′D与平面DEF所成角，解△A′DG即可求出．
证明：（I）∵ABCD是正方形
∴AD⊥AB，DC⊥BC，
即AD⊥AE，DC⊥CF，折起后，即A′D⊥A′E，A′D⊥A′F
∴A′D⊥面A′EF
∴A′D⊥EF
证明：（II）取EF中点G，连接A′G，DG，过A′做DG的垂线，交DG于H．
∵G是中点，且A′E=A′F=1，DE=DF=
∴A′G⊥EF，GD⊥EF
∴EF⊥面A′GD，
∴EF⊥A′H
又因为A′H⊥DG   所以A′H⊥面DEF
所以∠A′DG即所求的A′D与平面DEF所成角，
又因为A′D⊥面A′EF，所以A′D⊥A′G
所以tan∠A′DG=，
由题意可知，A′G=，A′D=2，
所以tan∠A′DG=
已知a∈R，设函数．