Question

已知a∈R，设函数．
（ I） 若a=2，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；
（ II）求函数f（x）在区间[2，3]上的最大值．

Answer

（I）先求导数f'（x），欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=3处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
（II）求出函数的导函数，令导函数为0，求出导函数的根，求出函数在导函数的两个根处的函数值及区间的两个端点对应的函数值，从几个函数值中选出最大、最小值即可．
【解析】
（ I）a=2时，，所以f′（x）=x2-3x+2
所以f′（3）=2，而，所以切线方程为
即（一般式：4x-2y-9=0）
（ II）f′（x）=x2-（a+1）x+a=（x-1）（x-a）
当a＜1时，函数f（x）在区间[2，3]上单调递增，故f（x）max=
当a=1时，函数f（x）在区间[2，3]上单调递增，故f（x）max=
当a＞1时，
①1＜a≤2时，在[2，3]上f′（x）＞0，即f（x）在区间[2，3]上单调递增，故f（x）max=
②2＜a＜3时，在[2，a）上f′（x）＜0，在（a，3]上f′（x）＞0，故f（x）max=max{f（2），f（3）}，而，
所以当时，f（3）＞f（2），故f（x）max=
当时，f（3）＜f（2），故f（x）max=
③a≥3时，在[2，3]上f′（x）≤0，即f（x）在区间[2，3]上单调递减，
故f（x）max=
综上所述：