Question

设函数y=f（x）满足对任意x₁、x₂∈R都有f（x₁+x₂）=f（x₁）f（x₂），且f（1）=2．
（Ⅰ）求f（2）、f（3）、f（4），猜测一个计算f（n）（n∈N^*）的公式（不要求证明）；
（Ⅱ）设，
（1）证明：a₁+a₂+a₃＞2；
（2）证明：．

Answer

（Ⅰ）通过赋值法x1=x2=1求f（2）、f（3）、f（4），得到数据表达式，猜测一个计算f（n）（n∈N*）的公式；
（Ⅱ）根据，（1）写出a1+a2+a3然后证明：a1+a2+a3＞2；
（2）通过利用放缩法证明：．
【解析】
（Ⅰ）f（2）=22，f（3）=23，f（4）=24（3分）
猜想f（n）=2n（4分）
（Ⅱ）（1）（5分）
a1+a2+a3=
因为
∴
∴
a1+a2+a3＞2（8分）
（2）当n=1时显然成立（9分）
当n≥2时，∵（11分）
∴（13分）
故对任意n∈N*，都有（14分）