Question

设函数f（x）=是奇函数（a，b，c都是整数），且f（1）=2，f（2）＜3．
（1）求a，b，c的值；
（2）当x＜0，f（x）的单调性如何？用单调性定义证明你的结论．

Answer

（1）利用奇函数的定义f（-x）=-f（x），对定义域内x恒成立可求得c值，再利用条件列出关于a，b的关系结合a，b，c都是整数即可解决．
（2）利用常见函数y=x+的单调性先判断单调性，再利用单调性定义进行证明．
【解析】
（1）由f（x）=是奇函数，
得f（-x）=-f（x）对定义域内x恒成立，则
=-⇒-bx+c=-（bx+c）对定义域内x恒成立，即c=0．
又⇒由①得a=2b-1代入②得＜0⇒0＜b＜，又a，b，c是整数，得b=a=1．
（2）由（1）知，f（x）==x+，
当x＜0，f（x）在（-∞，-1]上单调递增，在[-1，0）上单调递减．以下用定义证明．
设x1＜x2≤-1，则f（x1）-f（x2）=x1+-（x2+）
=x1-x2+=（x1-x2）（1-），
因为x1＜x2≤-1，x1-x2＜0，1-＞0．
f（x1）-f（x2）＜0，故f（x）在（-∞，-1]上单调递增．
同理，可证f（x）在[-1，0）上单调递减．