Question

已知b＞-1，c＞0，函数f（x）=x+b的图象与函数g（x）=x²+bx+c的图象相切．
（Ⅰ）求b与c的关系式（用c表示b）；
（Ⅱ）设函数F（x）=f（x）g（x），
（ⅰ）当c=4时，在函数F（x）的图象上是否存在点M（x，y），使得F（x）在点M的切线斜率为，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
（ⅱ）若函数F（x）在（-∞，+∞）内有极值点，求c的取值范围．

Answer

（Ⅰ）依题意，令，，进而得到b与c的关系式．
（Ⅱ）（ⅰ）当c=4时，则b=3，得F′（x）=3x2+12x+13，若存在满足条件的点M，则F′（x）=1，进而得到答案．
（ⅱ）令F′（x）=0，得△=16b2-12（b2+c）=4（b2-3c），若△=0，则F′（x）=0有两个相等的实根，根据列表可得x=x不是函数F（x）的极值点．若△＞0，则F′（x）=0有两个不相等的实根x1，x2（x1＜x2），根据列表可得x=x1是函数F（x）的极大值点，x=x2是函数F（x）的极小值点．进而解出答案．
【解析】
（Ⅰ）依题意，令．．
∵b＞-1，c＞0，
∴．
（Ⅱ）由题意可得：F（x）=f（x）g（x）=x3+2bx2+（b2+c）x+bc，所以F′（x）=3x2+4bx+b2+c．
（ⅰ）当c=4时，则b=3，
所以F（x）=f（x）g（x）=x3+6x2+13x+12，所以F′（x）=3x2+12x+13，
若存在满足条件的点M，则有：F′（x）=3x2+12x+13=1，
解得：x=-2，y=2，
所以这样的点M存在，且坐标为（-2，2）．
（ⅱ）由题意可得：F（x）=f（x）g（x）=x3+2bx2+（b2+c）x+bc，所以F′（x）=3x2+4bx+b2+c．
令F′（x）=0，即3x2+4bx+b2+c=0；所以△=16b2-12（b2+c）=4（b2-3c），
若△=0，则F′（x）=0有两个相等的实根，设为x，此时F′（x）的变化如下：

x （-∞，x） x （x，+∞）
F′（x） + +

于是x=x不是函数F（x）的极值点．
若△＞0，则F′（x）=0有两个不相等的实根x1，x2（x1＜x2）且F′（x）的变化如下：

x （-∞，x1） x1 （x1，x2） x2 （x2，+∞）
F′（x） + - +

由此，x=x1是函数F（x）的极大值点，x=x2是函数F（x）的极小值点．
综上所述，当且仅当△＞0时，函数F（x）在（-∞，+∞）上有极值点.．∵，
∴