Question

已知函数f（x）=x|x-2|．
（Ⅰ）写出f（x）的单调区间；
（Ⅱ）解不等式f（x）＜3；
（Ⅲ）设0＜a≤2，求f（x）在[0，a]上的最大值．

Answer

（1）取绝对值，化简函数解析式，联系图象写单调区间．
（1）分类讨论，去绝对值，转化解为不等式组．
（3）分类讨论，分当0＜a1 时，当1＜a≤2 时两种情况，利用函数的单调性，求函数在闭区间上的最值．
【解析】
（1）函数f（x）=x|x-2|=
∴f（x）的单调增区间是（-∞，1]和[2，+∞）；单调减区间是[1，2]．
（2）f（x）＜3，即 x|x-2|＜3，∴或，
∴2≤x＜3 或 x＜2∴不等式f（x）＜3的解集为{x|2≤x＜3 或 x＜2 }．
（3）  当0＜a1 时，f（x）是[0，a]上的增函数，此时f（x）在[0，a]上的
上的最大值是 f（a）=a（2-a）．
．当1＜a≤2 时，f（x）在[0，1]上是增函数，在[1，a]上是减函数，此时，
此时f（x）在[0，a]上的上的最大值是 f（1）=1．
综上，当0＜a1 时，此时f（x）在[0，a]上的 上的最大值是 f（a）=a（2-a）．
当1＜a≤2 时，f（x）在[0，a]上的 上的最大值是1．