Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx（a，b∈R）的图象过点P（1，2），且在点P处的切线斜率为8．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；

Answer

（Ⅰ）根据函数f（x）的图象过点P（1，2）与函数图象在点P处的切线斜率为8，建立关于a和b的方程组，解之即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f'（x），令f'（x）＞0和令f'（x）＜0，即可求出函数f（x）的单调区间．
（Ⅰ）【解析】
∵函数f（x）的图象过点P（1，2），
∴f（1）=2．
∴a+b=1．①
又函数图象在点P处的切线斜率为8，
∴f'（1）=8，
又f'（x）=3x2+2ax+b，
∴2a+b=5．②
解由①②组成的方程组，可得a=4，b=-3．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f'（x）=3x2+8x-3，
令f'（x）＞0，可得x＜-3或x＞；令f'（x）＜0，可得．
∴函数f（x）的单调增区间为（-∞，-3），，减区间为．