Question

已知sinθ+cosθ=，θ∈（0，π）．求值：（1）tanθ；（2）sin³θ+cos³θ

Answer

利用sinθ+cosθ=，θ∈（0，π）．结合平方关系，求出sinθ，cosθ的值，然后代入直接求出（1）tanθ；（2）sin3θ+cos3θ的值即可．
解∵sinθ+cosθ=，θ∈（0，π ），
∴（sinθ+cosθ ）2==1+2sinθ cosθ，
∴sinθ cosθ=-＜0．由根与系数的关系知，sinθ，cosθ 是方程x2- x-=0的两根，
解方程得x1=，x2=-．
∵sinθ＞0，cosθ＞0，∴sinθ=，cosθ=-．
则tanθ=-； sin3θ+cos3θ=．
故（1）tanθ=-．（2）sin3θ+cos3θ=．