Question

若二次函数满足f（x+1）-f（x）=2x且f（0）=1，
（1）求f（x）的解析式；
（2）若在R上，不等式f（x）＞2x+m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer

（1）二次函数满足f（x+1）-f（x）=2x且f（0）=1，设其方程为y=ax2+bx+1，代入f（x+1）-f（x）=2x，整理后利用同一性求出系数，
（2）不等式f（x）＞2x+m恒成立，即f（x）-2x-m＞0恒成立，由判别式求参数即可
【解析】
（1）由题意，设其方程为y=ax2+bx+1代入f（x+1）-f（x）=2x恒成立，整理得2ax+a+b=2x恒成立，既得解得
故f（x）=x2-x+1
（2）在R上不等式f（x）＞2x+m恒成立，即x2-3x+1-m＞0恒成立，故△=9-4（1-m）＜0，解得m＜-