Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+（A＞0，ω＞0）图象上的一个最高点的坐标为（），则此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点（），若φ∈（）．
（1）试求这条曲线的函数表达式；
（2）求函数的对称中心；
（3）用”五点法”画出（1）中函数在[0，π]上的图象；
（4）试说明y=sin2x的图象是由y=f（x）的图象经过怎样的变换得到的？

Answer

（1）根据条件中所给的函数的最高点的坐标，写出振幅，根据两个相邻点的坐标写出周期，把一个点的坐标代入求出初相，写出解析式．
（2）根据正弦曲线的对称中心，使得函数的自变量等于对称中心的横标求出结果，注意纵标是．
（4）y=f（x）先向下平移个单位得到f（x）=sin（2x+）再横标不变纵标变化为原来的得到f（x）=sin（2x+）再向右平移个单位得到y=sin2x．
【解析】
（1）∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）+最高点的坐标为（），
则此点到相邻最低点间的曲线与平衡轴交于点（），
∴A=，，
∴T=π，ω=2
∴f（x）=sin（2x+φ）+
∵过（）点，
∴2=sin（2x+φ）+
∵φ∈（）．
∴φ=，
∴函数的解析式是f（x）=sin（2x+）+
（2）∵正弦曲线的对称中心是（kπ，0）
∴2x+=kπ，k∈z
∴x=，
∴函数的对称中心是（，）
（3）

 x  0          π

 2x+      π    2π  

 f（x）  1+  2    0    1+

图形如右图

（4）y=f（x）先向下平移个单位得到
f（x）=sin（2x+）再横标不变纵标变化为原来的得到
f（x）=sin（2x+）再向右平移个单位得到y=sin2x