Question

如图，已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面边长和侧棱长均为1，且满足∠BAD=60°，O₁为A₁C₁的中点．
（1）求证：BD⊥A₁C；
（2）求证：AO₁∥平面C₁BD；
（3）设BB₁的中点为M，过A，C₁和M作一截面，求所得截面面积．

Answer

（1）连接AC，由菱形的性质可得BD⊥AC，由直四棱柱的几何特征可得A1A⊥BD，结合线面垂直的判定定理得到BD⊥平面A1AC，进而再由线面垂直的性质得到BD⊥A1C；
（2）设AC∩BD=O，连接C1O，由三角形中位线定理得C1O∥AO1．再由线面平行的判定定理得到AO1∥平面C1BD；
（3）取DD1中点N，连接AM，MC1，C1N，AN．可证得平行四边形AMC1N为菱形，根据菱形面积等于对角线长乘积的一半，即可得到截面面积．
【解析】
（1）证明：连接AC，
由直棱柱的性质可知A1A⊥平面ABCD，则A1A⊥BD．
由已知底面ABCD为菱形，则BD⊥AC，
由A1A∩AC=A，
所以BD⊥平面A1AC．
所以BD⊥A1C．
（2）设AC∩BD=O，连接C1O，
由正方体的几何特征可得
C1O1=AO，且C1O1∥AO，
故四边形AOC1O1为平行四边形
则C1O∥AO1．
∵AO1⊄平面C1BD，C1O⊂平面C1BD
∴AO1∥平面C1BD；
（3）取DD1中点N，连接AM，MC1，C1N，AN．
MC1∥AN，且AM=MC1=C1N=AN
∴A，M，C1，N四点共面，且平行四边形AMC1N为菱形．
由已知．