Question

已知函数f（x）=x³-ax²+bx+c的图象为曲线C．
（1）若曲线C上存在点P，使曲线C在P点处的切线与x轴平行，求a，b的关系；
（2）若函数f（x）可以在x=-1和x=3时取得极值，求此时a，b的值；
（3）在满足（2）的条件下，f（x）＜2c在x∈[-2，6]恒成立，求c的取值范围．

Answer

（1）切线与x轴平行等价于函数在该点处取到极值，即函数存在导数值为零的点．利用二次方程有根的条件进行求解；
（2）函数f（x）可以在x=-1和x=3时取得极值，可以得出函数在x=-1和x=3处导数值为零，利用韦达定理确定出a，b的值；
（3）将恒成立问题转化为函数在给定区间上的最值问题，通过求出函数的最值达到求解该题的目的．
【解析】
（1）f'（x）=3x2-2ax+b，设切点为P（x，y），
则曲线y=f（x）在点P的切线的斜率k=f'（x）=3x2-2ax+b
由题意知f'（x）=3x2-2ax+b=0有解，
∴△=4a2-12b≥0，即a2≥3b．
（2）若函数f（x）可以在x=-1和x=3处取得极值，
则f'（x）=3x2-2ax+b有两个解x=-1和x=3，且满足a2≥3b，
利用韦达定理得a=3，b=-9．
（3）由（2）得f（x）=x3-3x2-9x+c根据题意，c＞x3-3x2-9x（x∈[-2，6]）恒成立，
令函数g（x）=x3-3x2-9x（x∈[-2，6]），由g′（x）=3x2-6x-9，令g′（x）=0得出x=-1或3，
当x∈[-2，-1）时，g′（x）＞0，g（x）在x∈[-2，-1）上单调递增，
当x∈（-1，3）时，g′（x）＜0，g（x）在x∈（-1，3）上单调递减，
当x∈（3，6），g′（x）＞0，g（x）在x∈（3，6）上单调递增，
因此，g（x）在x=-1时有极大值5，且g（6）=54，g（-2）=-2．
∴函数g（x）=x3-3x2-9x（x∈[-2，6]）的最大值为54，所以c＞54．