Question

（理）设直线l与球O有且只有一个公共点P，从直线l出发的两个半平面α，β截球O的两个截面圆的半径分别为1和，二面角α-l-β的平面角为150°，则球O的表面积为（ ）
A．4π
B．16π
C．28π
D．112π

Answer

欲求球O的表面积，只需求出球O的半径，根据题意OP长即球O的半径，再根据球心与截面圆圆心连线垂直截面圆，可考虑连接球心与两个截面圆圆心，利用得到的图形中的一些边角关系，求出R，再利用球的表面积公式即可求出球O的表面积．
【解析】
设平面α，β截球O的两个截面圆的圆心分别为A，B，
连接OA，OB，PA，PB，根据题意在四边形OAPB中，∠APB=150°，∠OAP=∠OBP=90°
∴∠AOB=30°，
PA=1，PB=，
设OP=R，则OA=，OB=
设∠AOP=α，∠BOP=β，则sinα=，cosα=，sinβ=，cosβ=
sin∠AOB=sin∠（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ==sin30°=
∴R2=28
∴球O的表面积为4πR2=112π
故选D