Question

如图，已知△AOB，∠AOB=，∠BAO=，AB=4，D为线段AB的中点．若△AOC是△AOB绕直线AO旋转而成的．记二面角B-AO-C的大小为θ．
（Ⅰ） 当平面COD⊥平面AOB时，求θ的值；
（Ⅱ） 当θ∈[，]时，求二面角C-OD-B的余弦值的取值范围．

Answer

解法一（向量法）：（I）以O为原点，在平面OBC内垂直于OB的直线为x轴，OB，OA所在的直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系O-xyz，我们分别求出平面COD和平面AOB的法向量，根据两个向量垂直则两个向量的数量积为0，可构造关于θ的方程，代入即可得到θ的值；
（II）设二面角C-OD-B的大小为α，根据θ∈（，]，cosα=，我们易确定出cosα的范围，即二面角C-OD-B的余弦值的取值范围．
解法二（几何法）：（I）在平面AOB内过B作OD的垂线，垂足为E，根据平面COD⊥平面AOB，由面面垂直及线面垂直的性质，结合二面角的定义，即可得到二面角B-AO-C的平面角为∠COB，进而求出θ的值；
（Ⅱ）过C作OB的垂线，垂足为F，过F作OD的垂线，垂足为G，连接CG，则∠CGF的补角为二面角C-OD-B的平面角，根据θ∈[，]，我们易求出cos∠CGF的取值范围．
解法一：（Ⅰ） 如图，以O为原点，在平面OBC内垂直于OB的直线为x轴，OB，OA所在的直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系O-xyz，则A （0，0，2），B （0，2，0），
D （0，1，），C （2sinθ，2cosθ，0）．
设=（x，y，z）为平面COD的一个法向量，
由得
取z=sinθ，则=（cosθ，-sinθ，sinθ）．因为平面AOB的一个法向量为=（1，0，0），由平面COD⊥平面AOB得•=0，
所以cosθ=0，即θ=． …（7分）
（Ⅱ） 设二面角C-OD-B的大小为α，由（Ⅰ）得当θ=时，cosα=0；
当θ∈（，]时，tanθ≤-，cosα===-，
故-≤cosα＜0．综上，二面角C-OD-B的余弦值的取值范围为[-，0]．   （14分）
解法二：（Ⅰ）  【解析】
在平面AOB内过B作OD的垂线，垂足为E，因为平面AOB⊥平面COD，
平面AOB∩平面COD=OD，所以BE⊥平面COD，故BE⊥CO．
又因为OC⊥AO，所以OC⊥平面AOB，故OC⊥OB．
又因为OB⊥OA，OC⊥OA，所以二面角B-AO-C的平面角为∠COB，
即θ=．             …（7分）
（Ⅱ） 【解析】
当θ=时，二面角C-OD-B的余弦值为0；当θ∈（，]时，
过C作OB的垂线，垂足为F，过F作OD的垂线，垂足为G，连接CG，
则∠CGF的补角为二面角C-OD-B的平面角．在Rt△OCF中，CF=2 sinθ，OF=-2cosθ，
在Rt△CGF中，GF=OF sin=-cosθ，CG=，
所以cos∠CGF==-．因为θ∈（，]，tanθ≤-，
0＜cos∠CGF=≤．余弦值的取值范围为[-，0]．   …（14分）