Question

已知函数f（x）=ax+lnx，x∈（1，e），且f（x）有极值．
（1）求实数a的取值范围；
（2）求函数f（x）的值域；
（3）函数g（x）=x³-x-2，证明：∀x₁∈（1，e），∃x∈（1，e），使得g（x）=f（x₁）成立．

Answer

（1）由f（x）=ax+lnx求导，再由f（x）有极值知f′（x）=0解，且在两侧导函数正负相异求解．
（2）由（Ⅰ）可知f（x）的极大值为，再求得端点值f（1）=a，f（e）=ae+1，比较后取最小值和最大值，从而求得值域．
（3）证明：由：∀x1∈（1，e），∃x∈（1，e），使得g（x）=f（x1）f（x1）即研究：f（x）的值域是g（x）的值域的子集，所以分别求得两函数的值域即可．
【解析】
（1）由f（x）=ax+lnx求导可得：．（2分）
令=0，可得
∵x∈（1，e），∴∴（3分）
又因为x∈（1，e）

所以，f（x）有极值所以，实数a的取值范围为．（4分）
（2）由（Ⅰ）可知f（x）的极大值为（6分）
又∵f（1）=a，f（e）=ae+1
由a≥ae+1，解得又∵
∴当时，
函数f（x）的值域为（ae+1，-1+ln（）]（8分）
当时，
函数f（x）的值域为（a，-1+ln（）]．（10分）
（3）证明：由g（x）=x3-x-2求导可得g'（x）=3x2-1（11分）
令g'（x）=3x2-1=0，解得
令g'（x）=3x2-1＞0，解得或
又∵
∴g（x）在（1，e）上为单调递增函数（12分）
∵g（1）=-2，g（e）=e3-e-2
∴g（x）在x∈（1，e）的值域为（-2，e3-e-2）（14分）
∵，
-2＜ae+1，-2＜a
∴，

∴∀x1∈（1，e），∃x∈（1，e），使得g（x）=f（x1）成立．（16分）