Question

已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞-2x的解集为（1，3）．
（Ⅰ）若方程f（x）+6a=0有两个相等的根，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）的最大值为正数，求a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）f（x）为二次函数且二次项系数为a，把不等式f（x）＞-2x变形为f（x）+2x＞0因为它的解集为（1，3），则可设f（x）+2x=a（x-1）（x-3）且a＜0，解出f（x）；又因为方程f（x）+6a=0有两个相等的根，利用根的判别式解出a的值得出f（x）即可；（Ⅱ）因为f（x）为开口向下的抛物线，利用公式当x=时，最大值为=和a＜0联立组成不等式组，求出解集即可．
【解析】
（Ⅰ）∵f（x）+2x＞0的解集为（1，3）．f（x）+2x=a（x-1）（x-3），且a＜0．因而f（x）=a（x-1）（x-3）-2x=ax2-（2+4a）x+3a．①
由方程f（x）+6a=0得ax2-（2+4a）x+9a=0．②
因为方程②有两个相等的根，所以△=[-（2+4a）]2-4a•9a=0，
即5a2-4a-1=0．解得a=1或a=-
由于a＜0，舍去a=1．将a=-代入①得f（x）的解析式
（Ⅱ）由
及a＜0，可得f（x）的最大值为就
由解得a＜-2-或-2+＜a＜0．
故当f（x）的最大值为正数时，实数a的取值范围是