Question

设函数f（x）=x³-x²-x+2．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若当x∈[-1，2]时，-3≤af（x）+b≤3，求a-b的最大值．

Answer

（1）先对函数f（x）进行求导，令f'（x）＞0解出x的范围得到其增区间，同理令f'（x）＜0解出x的范围得到减区间；令f'（x）=0解出x的值得到极值点．
（2）先求出函数f（x）在区间[-1，2]上的最大与最小值，由可得答案．
【解析】
（Ⅰ）f'（x）=3x2-2x-1=（3x+1）（x-1）．
于是，当时，f'（x）＜0；时，f'（x）＞0．
故f（x）在单调减少，在，（1，+∞）单调增加．
当时，f（x）取得极大值；
当x=1时，f（x）取得极小值f（1）=1．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）及f（-1）=1，f（2）=4，f（x）在[-1，2]的最大值为4，最小值为1．
因此，当x∈[-1，2]时，-3≤af（x）+b≤3的充要条件是，
即a，b满足约束条件，
由线性规划得，a-b的最大值为7．