Question

已知函数f（x）=8ln（1+e^x）-9x．
（1）证明：函数f（x）对于定义域内任意x₁，x₂（x₁≠x₂）都有：成立．
（2）已知△ABC的三个顶点A、B、C都在函数y=f（x）的图象上，且横坐标依次成等差数列，求证：△ABC是钝角三角形，但不可能是等腰三角形．

Answer

（1）化简 为 ，
由x1≠x2，可得 ex1+ex2＞2，得到 ，即可得到结论．
（2）由f′（x）＜0恒成立，得到f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，根据条件化简可得＜0，故角B为钝角，
若△ABC是等腰三角形，则只可能是，由此推出，这与（1）结论矛盾，结论得证．
【解析】
（1）∵f（x）=81n（1+ex）-9x，
∴
= 
=．
∵x1≠x2，∴ex1+ex2＞2，∴，
∴．
（2）∵f′（x）=＜0恒成立，∴f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，
设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），且x1＜x2＜x3．
∴f（x1）＞f（x2）＞f（x3），x2=，
∴ 
∵x1-x2＜0，x3-x2＞0，f（x1）-f（x2）＞0，f（x3）-f（x2）＜0，∴＜0，
故B为钝，△ABC为钝角三角形．  若△ABC是等腰三角形，则只可能是，
即（x1-x2）2+[f（x1）-f（x2）]2=（x3-x2）2+[f（x3）-f（x2）]2
∵x2=，∴有[f（x1）-f（x2）]2=[f（x3）-f（x2）]2，∴f（x1）-f（x2）=f（x2）-f（x3），
即：f（x2）=
即：，这与（1）结论矛盾，∴△ABC不能为等腰三角形．