Question

已知圆C：与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．
（1）求证：△OAB的面积为定值；
（2）设直线y=-2x+4与圆C交于点M、N，若|OM|=|ON|，求圆C的方程．

Answer

（1）由题意知A（2t，0），，进而表示出面积即可得到答案．
（2）由OM=ON，CM=CN可得OC垂直平分线段MN，根据题意得到直线OC的方程是，所以t=2或t=-2，再分别验证t的数值是否正确，进而得到答案．
【解析】
（1）由题意知A（2t，0），
∴，
所以△OAB的面积为定值．
（2）∵OM=ON，CM=CN，
∴OC垂直平分线段MN．
∵kMN=-2，
∴，
∴直线OC的方程是．
又因为圆心C（t，），
所以，解得：t=2或t=-2．
①当t=2时，圆心C的坐标为（2，1），，
此时C到直线y=-2x+4的距离，圆C与直线y=-2x+4相交于两点．
②当t=-2时，圆心C的坐标为（-2，-1），，
此时C到直线y=-2x+4的距离，圆C与直线y=-2x+4不相交，∴t=-2不符合题意舍去．
∴圆C的方程为（x-2）2+（y-1）2=5．