Question

如图，已知△BCD中，∠BCD=90°，AB⊥平面BCD，BC=CD=1，分别为AC、AD的中点．
（1）求证：平面BEF⊥平面ABC；
（2）求直线AD与平面BEF所成角的正弦值．

Answer

（1）通过证明CD⊥平面ABC，CD∥EF，说明EF⊂平面BEF，即可证明平面BEF⊥平面ABC；
（2）过A作AH⊥BE于H，连接HF，可得AH⊥平面BEF，推出∠AFH为直线AD与平面BEF所成角．在Rt△AFH中，求直线AD与平面BEF所成角的正弦值．
【解析】
（1）证明：∵AB⊥平面BCD，
∴AB⊥CD．
又∵CD⊥BC，
∴CD⊥平面ABC．
∵E、F分别为AC、AD的中点，
∴EF∥CD．
∴EF⊥平面ABC，
∵EF⊂平面BEF，
∴平面BEF⊥平面ABC．
（2）过A作AH⊥BE于H，连接HF，
由（1）可得AH⊥平面BEF，
∴∠AFH为直线AD与平面BEF所成角．
在Rt△ABC中，为AC中点，
∴∠ABE=30°，
∴．
在Rt△BCD中，BC=CD=1，
∴．
∴在Rt△ABD中，
∴．
∴在Rt△AFH中，，
∴AD与平面BEF所成角的正弦值为．