Question

如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AE=3EB；
（Ⅰ）若A₁F=FA，求证：EF∥面DD₁C₁C；
（Ⅱ） 求二面角A-EC-D₁的正切值、

Answer

（Ⅰ）欲证FE∥面DD1C1C，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证FE与面DD1C1C内一直线平行，连A1B，根据比例关系可知FE∥A1B，又D1C∥A1B，则EF∥D1C，EF⊄面DD1C1C，D1C⊂面DD1C1C，满足定理所需条件；
（Ⅱ）过点D作DG⊥EC，连接D1G，根据二面角平面角的定义可知∠D1GD就是二面角A-EC-D1的平面角，然后在△D1DG中求出此角的正切值即可求得所求．
【解析】
（Ⅰ）连A1B，∵AE=3EB.
∴，∴FE∥A1B，又D1C∥A1B
∴EF∥D1C，EF⊄面DD1C1C，D1C⊂面DD1C1C
∴FE∥面DD1C1C
（Ⅱ）过点D作DG⊥EC，连接D1G．
由DD1⊥平面ABCD得D1G⊥CE，又DG⊥EC，DG∩DD1=D，
∴CE⊥平面D1DG．∴CE⊥D1G，
∴∠D1GD就是二面角A-EC-D1的平面角．
设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，则AE=3，EB=1．
，△DEC中，由等面积法，．
∴△D1DG中，．
∴二面角A-EC-D1的正切值为