Question

设函数f（x）=（x-a）²（x+b）e^x，a、b∈R，x=a是f（x）的一个极大值点；
（Ⅰ）若a=0，求b的取值范围；
（Ⅱ） 当a是给定的实常数，设x₁x₂x₃是f（x）的3个极值点，问是否存在实数b，可找到x₄∈R，使得x₁，x₂，x₃，x₄的某种排列x₁，x₂，x₃，x₄（其中{i₁，i₂，i₃}={1，2，3，4}）依次成等差数列？若存在，求所有的b及相应的x₄；若不存在，说明理由、

Answer

（I）由函数f（x）=（x-a）2（x+b）ex，我们易求出a=0时，函数的解析式及其导函数的解析式，构造函数g（x）=x2+（b+3）x+2b，结合x=a是f（x）的一个极大值点，我们分析函数g（x）=x2+（b+3）x+2b的两个零点与0的关系，即可确定b的取值范围；
（Ⅱ）由函数f（x）=（x-a）2（x+b）ex，我们易求出f'（x）的解析式，由（I）可得x1、a、x2是f（x）的三个极值点，且，，分别讨论x1、a、x2是x1，x2，x3，x4的某种排列构造等差数列时其中三项，即可得到结论．
【解析】
（Ⅰ）【解析】
a=0时，f（x）=x2（x+b）ex，∴f'（x）=[x2（x+b）]′ex+x2（x+b）（ex）′=exx[x2+（b+3）x+2b]，
令g（x）=x2+（b+3）x+2b，∵△=（b+3）2-8b=（b-1）2+8＞0，∴设x1＜x2是g（x）=0的两个根，
（1）当x1=0或x2=0时，则x=0不是极值点，不合题意；
（2）当x1≠0且x2≠0时，由于x=0是f（x）的极大值点，故x1＜0＜x2．∴g（0）＜0，即2b＜0，∴b＜0．
（Ⅱ）【解析】
f'（x）=ex（x-a）[x2+（3-a+b）x+2b-ab-a]，
令g（x）=x2+（3-a+b）x+2b-ab-a，则△=（3-a+b）2-4（2b-ab-a）=（a+b-1）2+8＞0，
于是，假设x1，x2是g（x）=0的两个实根，且x1＜x2．
由（Ⅰ）可知，必有x1＜a＜x2，且x1、a、x2是f（x）的三个极值点，
则，
假设存在b及x4满足题意，
（1）当x1，a，x2等差时，即x2-a=a-x1时，
则x4=2x2-a或x4=2x1-a，
于是2a=x1+x2=a-b-3，即b=-a-3．
此时x4=2x2-a=a-b-3+
或x4=2x1-a=a-b-3
（2）当x2-a≠a-x1时，则x2-a=2（a-x1）或（a-x1）=2（x2-a）
①若x2-a=2（a-x1），则，
于是，
即．
两边平方得（a+b-1）2+9（a+b-1）+17=0，∵a+b+3＜0，于是a+b-1=，
此时，
此时=．
②若（a-x1）=2（x2-a），则，
于是，
即．
两边平方得（a+b-1）2+9（a+b-1）+17=0，∵a+b+3＞0，于是a+b-1=，
此时
此时
综上所述，存在b满足题意，
当b=-a-3时，，
时，，
时，．