Question

已知二次函数f（x）满足f（-1）=0，且8x≤f（x）≤4（x²+1）对于x∈R恒成立．
（1）求f（1）；
（2）求f（x）的表达式；
（3）设，定义域为D，现给出一个数学运算程序：x₁→x₂=g（x₁）→x₃=g（x₂）→…x_n=g（x_n-1）
若x_n∈D，则运算继续下去；若x_n∉D，则运算停止．给出，请你写出满足上述条件的
集合D={x₁，x₂，x₃，…，x_n}．

Answer

（1）把1代入8x≤f（x）≤4（x2+1）可得f（1）；
（2）设出f（x）的表达式，由f（-1）=0和f（1），以及ax2+bx+c≥8x，即ax2-4x+c≥0，对x∈R恒成立，求得a、b、c可得f（x）的表达式．
（3）写出g（x），按运算程序，逐一写出结果，发现x5无意义，以后无意义．可得结论．
【解析】
（1）由8x≤f（x）≤4（x2+1），令x=1得8≤f（1）≤8，
∴f（1）=8．
（2）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），由（1）及f（-1）=0得⇒b=4，a+c=4．
又ax2+bx+c≥8x，即ax2-4x+c≥0，对x∈R恒成立，
∴，即（a-2）2≤0，
∴a=2，c=2．故f（x）=2（x+1）2．
（3）由g（x）=
由题意x1=，x2=g（x1）=，x3=g（x2）=-，x4=g（x3）=-1，x5无意义，故D={，，-，-1}