Question

设a为实数，设函数的最大值为g（a）．
（Ⅰ）设t=，求t的取值范围，并把f（x）表示为t的函数m（t）
（Ⅱ）求g（a）
（Ⅲ）试求满足的所有实数a

Answer

（I）先求定义域，再求值域．由转化．
（II）求g（a）即求函数的最大值．严格按照二次函数求最值的方法进行．
（III）要求满足的所有实数a，则必须应用g（a）的解析式，它是分段函数，必须分情况选择解析式进行求解．
【解析】
（I）
要使有t意义，必须1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1，
∴，t≥0①
t的取值范围是
由①得
∴m（t）=a（）+t=

（II）由题意知g（a）即为函数的最大值．
注意到直线是抛物线的对称轴，
分以下几种情况讨论．
（1）当a＞0时，函数y=m（t），的图象是开口向上的抛物线的一段，
由＜0知m（t）在上单调递增，
∴g（a）=m（2）=a+2
（2）当a=0时，m（t）=t，，
∴g（a）=2．
（3）当a＜0时，函数y=m（t），的图象是开口向下的抛物线的一段，
若，即则
若，即则
若，即则g（a）=m（2）=a+2
综上有

（III）情形1：当a＜-2时，
此时，
由，与a＜-2矛盾．
情形2：当，时，
此时，
解得，与矛盾．
情形3：当，时，
此时
所以，
情形4：当时，，
此时，，
解得矛盾．
情形5：当时，，
此时g（a）=a+2，
由解得矛盾．
情形6：当a＞0时，，
此时g（a）=a+2，
由，由a＞0得a=1．
综上知，满足的所有实数a为：，或a=1