Question

已知函数f（x）=-x³-2mx²-m²x+1-m（其中m＞-2）在点x=1处取得极值．
（1）求实数m的值；
（2）求函数f（x）在区间[0，1]上的最小值；
（3）若a≥0，b≥0，c≥0，且a+b+c=1，证明不等式．

Answer

（1）由题可得f'（x）=-3x2-4mx-m2则f'（1）=0，即m2+4m+3=0所以m=-3或m=-1．
（2）由（1）得f'（x）=-3x2+4x-1，令f'（x）≥0，得f（x）在[0，1]上的增区间为，减区间为，进而得到函数的最值．
（3）由（2）得即整理得可得
【解析】
（1）由题可得f'（x）=-3x2-4mx-m2
则f'（1）=0，即m2+4m+3=0所以m=-3或m=-1，又m＞-2，故m=-1
（2）由（1）知，f（x）=-x3+2x2-x+2，则f'（x）=-3x2+4x-1
令f'（x）≥0，得f（x）在[0，1]上的增区间为，减区间为，
所以
（3）因f（x）=-x3+2x2-x+2=（1+x2）（2-x），x∈[0，1]
所以，即
所以
故]
又1=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ac）≤3（a2+b2+c2）
所以
所以（当且仅当时取”=”）