Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、P分别BC、A₁D₁的中点，M、N分别是AE、CD₁的中点，AD=AA₁=1，AB=2．
（1）求证：MN∥面ADD₁A₁；
（2）求MN与平面ABCD所成角的正切值；
（3）求三棱锥P-DEN的体积．

Answer

（1）利用三角形中位线的性质，证明线面平行，从而可得面面平行，即可证明MN∥面ADD1A1；
（2）确定MN与平面ABCD所成角，再利用三角函数，即可求得角的正切值；
（3）利用转换底面方法，即可求三棱锥P-DEN的体积．
（1）证明：取CD的中点K，连结MK、NK
∵M、N、K分别为AK、CD1、CD的中点
∴MK∥AD，NK∥DD1
∴MK∥面ADD1A1，NK∥面ADD1A1
∴面MNK∥面ADD1A1
∴MN∥面ADD1A1…（4分）
（2）【解析】
由（1）知∠NMK是直线MN与平面ABCD所成的角…（5分）
∵，
∴…（8分）
（3）
作DQ⊥CD1交CD1于Q，由A1D1⊥面CDD1C1得，A1C1⊥DQ
∴DQ⊥面BCD1A1
∴在Rt△CDD1中，
∴…（14分）