Question

函数f（x）=x³+ax²+bx+5，过曲线y=f（x） 上的点P（1，f（1））的切线斜率为3．
（1）若y=f（x）在x=-2时有极值，求f（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，求y=f（x）在[-3，1]上最大值．

Answer

（1）求导函数，利用曲线y=f（x）在P（1，f（1））的切线斜率为3，在x=-2时有极值，建立方程，求得a，b的值，即可求得f（x）的表达式；
（2）确定函数的单调性，求出极值与端点函数值比较，即可求y=f（x）在[-3，1]上最大值．
【解析】
（1）∵f（x）=x3+ax2+bx+5，∴f′（x）=3x2+2ax+b
∵曲线y=f（x）在P（1，f（1））的切线斜率为3，在x=-2时有极值，
∴f′（1）=2a+b+3=3，f′（-2）=12-4a+b=0
∴a=2，b=-4，
∴f（x）=x3+2x2-4x+5；
（2）f′（x）=3x2+2ax+b=3x2+4x-4=（3x-2）（x+2）

x [-3，-2） -2 （-2，） （，1]
f′（x） + - +
f（x） 极大 极小

∴f（x）极大=f（-2）=（-2）3+2•（-2）2-4•（-2）+5=13
∵f（1）=13+2×1-4×1+5=4，f（-3）=（-3）3+2•（-3）2-4•（-3）+5=8
∴f（x）在[-3，1]上最大值为13．